Физика › 9 класс › Взаимодействие тел

Тема 14Первая космическая скорость

★★★

Термины темы — найди их в тексте:Первая космическая скоростьсвободно падаютВторая космическаяТретья космическаяэллипсыГеостационарная орбита

Спутники летают вокруг Земли под действием одной только силы тяжести, то есть свободно падают. Почему же они не падают на Землю?

Мысленный опыт Ньютона

Представим пушку на высокой горе. Ядро, выпущенное с маленькой скоростью, падает недалеко. Чем больше скорость, тем дальше оно улетает. При некоторой скорости ядро падает, но Земля под ним «закругляется» так же быстро — и оно облетает Землю по кругу.

Пушка Ньютона: чем больше скорость, тем дальше падает ядро Иллюстрация: light-fizika.ru

Определение

Первая космическая скорость — скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно двигалось вокруг Земли по круговой орбите.

Сила тяготения сообщает спутнику центростремительное ускорение:

\frac{mv^2}{R+h}=G\frac{Mm}{(R+h)^2}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}.

У поверхности Земли ( $h\ll R$ ): $v_1=\sqrt{gR}=\sqrt{9{,}8\cdot6{,}4\cdot10^6}\approx7{,}9$ км/с.

Вывод формулы первой космической скорости Иллюстрация: light-fizika.ru

Вторая космическая скорость, $v_2\approx11{,}2$ км/с, — тело навсегда покидает Землю.
Третья космическая, $v_3\approx16{,}7$ км/с, — тело покидает Солнечную систему.

При скоростях между первой и второй космической орбиты — эллипсы.

Круговая орбита при 7,9 км/с, эллипсы — при скоростях до 11,2 км/с Иллюстрация: light-fizika.ru

Искусственные спутники

Спутники запускают на высоту не ниже 300–400 км: там воздух уже почти не тормозит их. Чем выше орбита, тем меньше нужная скорость и тем больше период обращения.

Спутник на высоте 300–400 км: сила тяжести направлена к Земле, скорость — по касательной Иллюстрация: light-fizika.ru

Геостационарная орбита проходит над экватором на высоте около 36 000 км. Период обращения на ней равен суткам, и спутник «висит» над одной точкой Земли. Так работают спутники связи и телевидения.

Геостационарный спутник вращается вместе с Землёй. Виды орбит спутников Иллюстрация: light-fizika.ru

Почему так?

Спутник всё-таки падает! За 1 с он опускается к Земле примерно на 5 м. Но за ту же секунду он пролетает 7,9 км по касательной, а на таком расстоянии поверхность Земли из-за кривизны тоже «уходит вниз» примерно на 5 м. Спутник всё время «промахивается» мимо Земли.

Пример решения

Найдите первую космическую скорость для Луны: $g=1{,}6$ м/с², $R=1740$ км.

$v=\sqrt{gR}=\sqrt{1{,}6\cdot1{,}74\cdot10^6}\approx1700$ м/с = 1,7 км/с.

Образ для запоминания

«7,9 — 11,2 — 16,7» — лестница из трёх ступенек: облететь Землю, уйти от Земли, уйти от Солнца.

⚗ Мини-опыт

Стреляйте из пушки Ньютона с разной скоростью. При какой скорости ядро облетает Землю по кругу? А при какой улетает навсегда?

▶ Симуляция PhET

На экране «Модель» выберите Землю и спутник. Меняйте скорость спутника: когда орбита круговая, когда вытянутая, а когда спутник улетает?

Гравитация и орбитыОткрыть ↗

Симуляция: PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, лицензия CC BY-NC 4.0 (phet.colorado.edu); русский перевод интерфейса.

? Проверь себя

Ответь, не подглядывая в конспект: вспоминать — лучший способ запомнить.

1Чему равна первая космическая скорость у поверхности Земли?

11,2 и 16,7 км/с — вторая и третья космические скорости.

2Почему спутник не падает на Землю?

Сила тяжести на орбите почти такая же, как у поверхности.

3Чем особенна геостационарная орбита?

Его период обращения равен суткам.

✎ Задачи

А Уровень А по образцу: одна формула, один шаг

Как называется скорость, при которой тело навсегда покидает Землю?
Ответ
Вторая космическая скорость, около 11,2 км/с.
Как получилось?
Запишите формулу первой космической скорости у поверхности планеты.
Ответ
$v=\sqrt{gR}$ .
Как получилось?
Почему спутники не запускают на высоту 100 км?
Ответ
Там ещё заметно сопротивление воздуха — спутник быстро затормозит и упадёт.
Как получилось?
Чему равен период обращения геостационарного спутника?
Ответ
24 ч — суткам.
Как получилось?
Найдите первую космическую скорость для Марса: $g=3{,}7$ м/с², $R=3400$ км.
Ответ
$v=\sqrt{3{,}7\cdot3{,}4\cdot10^6}\approx3{,}5$ км/с.
Как получилось?

Б Уровень Б сам: несколько шагов, перевод единиц

Найдите скорость спутника на высоте, равной радиусу Земли (у поверхности $v_1=7{,}9$ км/с).
Ответ
$v\sim\dfrac{1}{\sqrt{R+h}}$ , расстояние до центра вдвое больше: $v=\dfrac{7{,}9}{\sqrt2}\approx5{,}6$ км/с.
Как получилось?
Найдите период обращения спутника на низкой орбите ( $R\approx6400$ км, $v=7{,}9$ км/с).
Ответ
$T=\dfrac{2\pi R}{v}=\dfrac{6{,}28\cdot6{,}4\cdot10^6}{7{,}9\cdot10^3}\approx5100$ с ≈ 85 мин.
Как получилось?
Масса планеты вдвое больше земной, а радиус такой же. Во сколько раз её первая космическая скорость больше земной?
Ответ
$v=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}$ — в $\sqrt2\approx1{,}4$ раза (около 11,2 км/с).
Как получилось?

↻ Закрепи

Карточки терминов

Нажми на карточку — она перевернётся. «Знаю» — карточка вернётся на повторение позже (через сутки, неделю, месяц), «Повторить» — скоро снова.

Первая космическая скорость

Скорость движения по круговой орбите у Земли: около 7,9 км/с.

Формула первой космической скорости

v = √(GM/(R + h)); у поверхности v = √(gR).

Вторая космическая скорость

Около 11,2 км/с — тело навсегда покидает Землю.

Геостационарная орбита

Над экватором, около 36 000 км; период — сутки.

Экспресс-карта

Возьми лист и за 3 минуты нарисуй по памяти карту темы: в центре — тема, ветви — главные идеи, на ветвях — термины. Потом сравни.